درسنامه آموزشی فصل اول حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی
درس 1: تبدیل نمودار توابع
برای رسم بسیاری از توابع، نیاز به روش های پیچیده نیست. اگر نمودار یک تابع را در اختیار داشته باشیم، میتوانیم به کمک برخی از تبدیلها، نمودار توابع دیگری را رسم کنیم.
انتقالهای عمودی و افقی
در سالهای قبل با انتقالهای عمودی و افقی آشنا شدهاید. به عنوان مثال میتوانید نمودار توابع $y = {(x + 2)^2}$ و $y = {x^2} + 3$ را به کمک نمودار تابع $y = {x^2}$ رسم کنید.
در حالت کلی (مانند مثال بالا، قسمت ب) اگر $({x_0},{y_0})$ یک نقطه از نمودار تابع $y = f(x)$ باشد و تابع $g$ بهصورت $g(x) = f(x) + k$ تعریف شده باشد، آنگاه:
$g({x_0}) = f({x_0}) + k = {y_0} + k$
بنابراین نقطه $({x_0},{y_0} + k)$ از نمودار تابع $g$ متناظر با نقطه $({x_0},{y_0})$ از نمودار $f$ است.
به روش مشابه، اگر $({x_0},{y_0})$ یک نقطه از نمودار تابع $y = f(x)$ باشد و تابع $h$ بهصورت $h = f(x + k)$ تعریف شده باشد، آنگاه:
$h({x_0} - k) = f({x_0} - k + k) = f({x_0}) = {y_0}$
بنابراین نقطه $({x_0} - k,{y_0})$ از نمودار تابع $h$ متناظر با نقطه $({x_0},{y_0})$ از نمودار تابع $f$ است.
مثال: نمودار تابع $y = \sin x$ با دامنه $\left[ {0,2\pi } \right]$ رسم شده است. میخواهیم نمودار تابع $f(x) = \sin x + 2$ و $g(x) = \sin (x - \frac{\pi }{2})$ را به کمک انتقال رسم کنیم. با توجه به توضیحات صفحهٔ قبل، کافی است نمودار تابع $y = \sin x$ را 2 واحد به بالا انتقال دهیم تا $f(x)$ رسم شود (شکل الف) و اگر آن را $\frac{\pi }{2}$ واحد به راست انتقال دهیم، $g(x)$ رسم میشود. (شکل ب)
کاردرکلاس (صفحه 4 تا 5 کتاب درسی)
1) الف- نمودار تابع $f(x) = \sqrt x $ را با دامنه $\left[ {0,4} \right]$ رسم کنید و برد تابع را مشخص کنید.
ب- نمودار توابع $k(x) = f(x - 2)$ و $g(x) = f(x) + 3$ را به کمک انتقال رسم کنید.
پ- دامنه و برد توابع $k$ و $g$ را محاسبه و با دامنه و برد تابع $f$ مقایسه کنید.
| $g(x) = f(x) + 3$ | $k(x) = f(x - 2)$ | $f(x) = \sqrt x $ | |
| $\left[ {0,4} \right]$ | دامنه | ||
| برد |
2) در زیر، نمودار توابع $y = {2^x}$، $y = {\log _2}x$ و $y = \cos x$ رسم شدهاند. نمودار توابع $y = {2^{x - 1}} + 2$، $y = {\log _2}(x + 2)$ و $y = \cos (x + \frac{\pi }{2})$ را به کمک انتقال رسم کنید.
مثال: نمودار تابع $f$ بهصورت زیر داده شده است. با انتقالهای افقی و عمودی، نمودار تابع $y = f(x + 1) - 3$ را رسم میکنیم.
برای این کار ابتدا نمودار تابع $f$ را یک واحد به سمت چپ انتقال میدهیم تا نمودار تابع $y = f(x + 1)$ رسم شود (شکل الف) و سپس این نمودار را سه واحد به پایین منتقل میکنیم تا نمودار تابع $y = f(x + 1) - 3$ رسم شود (شکل ب).
انبساط و انقباض عمودی
فعالیت (صفحه 6 کتاب درسی)
1) در جدول زیر، چند نقطه از نمودارهای توابع $y = \sin x$ و $y = 3\sin x$ را مشخص کرده و نمودار آنها را در بازه $\left[ {0,2\pi } \right]$ رسم کردهایم. با تکمیل این جدول، نمودار تابع $y = \frac{1}{2}\sin x$ را نیز در دستگاه زیر رسم کنید.
| $2\pi $ | $\frac{{3\pi }}{2}$ | $\pi $ | $\frac{\pi }{2}$ | $0$ | $x$ |
| 0 | 1- | 0 | 1 | 0 | $y = \sin x$ |
| 0 | 3- | 0 | 3 | 0 | $y = 3\sin x$ |
| ... | ... | ... | ... | ... | $y = \frac{1}{2}\sin x$ |
2) با مقایسه نمودارهای بالا، نمودارهای توابع $y =3 \sin x$ و $y = \frac{1}{2} \sin x$ چه تفاوتی با نمودار تابع $y = \sin x$ دارند؟
3) دامنه و برد توابع $y = 3\sin x$ و $y = \frac{1}{2}\sin x$ چه تفاوتی با دامنه و برد تابع $y = \sin x$ دارند؟
در حالت کلی اگر $({x_0},{y_0})$ یک نقطه از نمودار تابع $y = f(x)$ باشد و تابع $g$ بهصورت $g(x) = kf(x)$ تعریف شده باشد، آنگاه:
$g({x_0}) = kf({x_0}) = k{y_0}$
بنابراین $({x_0},k{y_0})$ یک نقطه از نمودار تابع $g$ متناظر با نقطه $(x,{y_0})$ از نمودار تابع $f$ است.
کاردرکلاس (صفحه 7 تا 8 کتاب درسی)
1) اگر دامنه و برد تابع $y = f(x)$ به ترتیب بازههای $\left[ {a,b} \right]$ و $\left[ {c,d} \right]$ باشند، دامنه و برد تابع $y = kf(x)$ را برای $k \gt 0$ و $k \lt 0$ تعیین کنید.
2) نمودار توابع زیر را به کمک نمودار تابع رسم کنید.
الف- $y = - {x^2}$
ب- $y = 2{x^2} - 1$
پ- نمودار زیر از قرینهیابی و انتقال نمودار تابع $y = \left| x \right|$ بهدست آمده است. ضابطه این تابع را مشخص کنید.
3) نمودار تابع $y = f(x)$ در زیر رسم شده است. با انجام مراحل زیر، نمودار تابع $y = - f(x - 1) + 2$ را رسم کنید.
انبساط و انقباض افقی
فعالیت (صفحه 8 کتاب درسی)
در دستگاه زیر، نمودار تابع $y = \sin x$ در فاصله $\left[ {0,2\pi } \right]$ رسم شده است.
1) با تکمیل جدول زیر، نقاطی از نمودار تابع $y = \sin 2x$ مشخص میشود. با کمک این جدول نمودار این تابع را در فاصله $\left[ {0,\pi } \right]$ رسم کنید.
| $\pi $ | $\frac{{3\pi }}{4}$ | $\frac{\pi }{2}$ | $\frac{\pi }{4}$ | 0 | $x$ |
| ... | ... | ... | ... | ... | $y = \sin 2x$ |
2) با مقایسه نمودارهای توابع $y = \sin x$ و $y = \sin 2x$، چه تفاوتی بین آنها وجود دارد؟
در حالت کلی اگر $({x_0},{y_0})$ یک نقطه دلخواه از نمودارتابع $y = f(x)$ باشد و تابع $g$ بهصورت $g(x) = f(kx)$ تعریف شده باشد، آنگاه:
$g(\frac{{{x_0}}}{k}) = f(k\frac{{{x_0}}}{k}) = f({x_0}) = {y_0}$
بنابراین نقطه $(\frac{{{x_0}}}{k},{y_0})$ یک نقطه از نمودار تابع و متناظر با نقطه $({x_0},{y_0})$ از نمودار تابع $f$ است.
در شکلهای زیر، نمودارتابع $y = f(kx)$ برای دو حالت $k \gt 1$ و $0 \lt k \lt 1$ رسم شده است.
کاردرکلاس (صفحه 10 کتاب درسی)
1) اگر دامنه و برد تابع $y = f(x)$ به ترتیب بازههای $\left[ {a,b} \right]$ و $\left[ {c,d} \right]$ باشند، دامنه و برد تابع $y = f(kx)$ را برای $k \gt 0$ و $k \lt 0$ تعیین کنید.
2) اگر نمودار تابع $y = f(x)$ بهصورت زیر باشد، نمودار توابع $y = f(3x)$ و $y = f( - \frac{x}{2})$ را رسم کنید.
3) نمودار توابع زیر را به کمک نمودار تابع $y = \cos x$ رسم کنید.
$y = \cos 2x - 1$ (الف
$y = 2\cos (\frac{x}{3})$ (ب
- مثال: اگر نمودار $f$ یهصورت زیر باشد، تابع $g(x) = f(2x + 1)$ را به کمک آن رسم میکنیم.
اگر $A + ({x_0} + {y_0})$ یک نقطه از نمودار تابع $f$ باشد، آنگاه $A' = \left( {\frac{{{x_0} - 1}}{2},{y_0}} \right)$ نقطه متناظر آن روی نمودار تابع $g$ است، زیرا:
$g\left( {\frac{{{x_0} - 1}}{2}} \right) = f\left( {2\left( {\frac{{{x_0} - 1}}{2}} \right) + 1} \right) = f({x_0} - 1 + 1) = f({x_0}) = {y_0}$
بنابراین نقاط مشخص شده در نمودار $f$ را یک واحد به سمت چپ منتقل کرده و سپس طول آنها را بر 2 تقسیم میکنیم تا نقاط متناظر از $g$ بهدست آیند.
با توجه به اینکه $\frac{{{x_0} - 1}}{2} = \frac{{{x_0}}}{1} - \frac{1}{2}$، آیا میتوانید روشی دیگر برای رسم نمودار تابع $g$ پیشنهاد کنید.
آیا میتوان برای رسم نمودار تابع $g$، ابتدا نمودار تابع $y = f(2x)$ را رسم کرد و سپس آن را یک واحد به چپ منتقل کرد تا $g(x) = f(2x + 1)$ رسم شود؟ چرا؟
تمرین (صفحه 11 تا 12 کتاب درسی)
1) هر یک از توابع زیر، تبدیل یافته تابع $y = \sqrt x $ هستند. هر یک از آنها را به نمودارش نظیر کنید.
$y = \sqrt {2 + x} $ (الف
$y = 2 + \sqrt x $ (ب
$y = - 2\sqrt x $ (پ
$y = \sqrt {\frac{x}{2}} $ (ت
$y = 2 + \sqrt {x - 2} $ (ث
$y = \sqrt { - 2x} $ (ج
2) نمودار تابع $f$ در شکل زیر رسم شده است. نمودار هر یک از توابع زیر را رسم کنید.
$y = f( - x)$ (الف
$y = 2f(x - 1)$ (ب
$y = - f(x) + 2$ (پ
$y = f(2x - 1)$ (ت
$y = f(3 - x)$ (ث
3) نمودار تابع $f$ در شکل زیر رسم شده است. نمودار توابع زیر را رسم کنید و آنها را با نمودار $f$ مقایسه کنید.
$y = f( - x)$ (الف
$y = - f(x)$ (ب
$y = - f( - x)$ (پ
4) نمودار تابع مقابل فقط از قرینهیابی و انتقال نمودار تابع $y = \sqrt x $ بهدست آمده است. ضابطه این تابع را بنویسید.
